התפלגות נורמלית — הסבר פשוט

מה זה התפלגות נורמלית?

התפלגות נורמלית (Normal Distribution) היא ההתפלגות הסטטיסטית החשובה ביותר. היא נראית כמו "פעמון" סימטרי — רוב הנתונים מרוכזים סביב הממוצע, ומעט נתונים בקצוות.

נקראת גם:

• עקומת הפעמון (Bell Curve)
• התפלגות גאוסיאנית (על שם מתמטיקאי)

למה היא חשובה?

תופעות רבות בטבע מתפלגות נורמלית:

• גבהים של אנשים
• ציוני IQ
• טעויות מדידה
• ממוצעים של מדגמים (משפט הגבול המרכזי)

הפרמטרים: μ ו-σ

התפלגות נורמלית מוגדרת על ידי שני פרמטרים:

פרמטר	סימון	משמעות
ממוצע	μ (מיו)	מרכז ההתפלגות
סטיית תקן	σ (סיגמא)	רוחב ההתפלגות

סימון: X ~ N(μ, σ²) — X מתפלג נורמלית עם ממוצע μ ושונות σ².

כלל 68-95-99.7 (הכלל האמפירי)

בהתפלגות נורמלית:

68% מהנתונים בטווח μ ± 1σ
95% מהנתונים בטווח μ ± 2σ
99.7% מהנתונים בטווח μ ± 3σ

דוגמה

ציוני IQ מתפלגים נורמלית עם μ = 100 ו-σ = 15.

• 68% מהאנשים עם IQ בין 85 ל-115
• 95% מהאנשים עם IQ בין 70 ל-130
• 99.7% מהאנשים עם IQ בין 55 ל-145

ציון Z (Z-Score)

ציון Z מודד כמה סטיות תקן ערך רחוק מהממוצע:

Z = (X - μ) ÷ σ

פירוש ציוני Z

ציון Z	משמעות
Z = 0	בדיוק בממוצע
Z = 1	סטיית תקן אחת מעל הממוצע
Z = -1	סטיית תקן אחת מתחת לממוצע
Z = 2	2 סטיות תקן מעל הממוצע (טוב מ-97.5%)

דוגמה

ציון מבחן: ממוצע 75, סטיית תקן 10. קיבלתם 90. מה ציון ה-Z?

Z = (90 - 75) ÷ 10 = 1.5

אתם 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע — טוב מכ-93% מהנבחנים!

התפלגות נורמלית סטנדרטית

התפלגות נורמלית עם μ = 0 ו-σ = 1. מסומנת Z ~ N(0,1).

כל התפלגות נורמלית ניתנת להמרה לסטנדרטית:

Z = (X - μ) ÷ σ

אחרי ההמרה, משתמשים בטבלת Z למציאת הסתברויות.

חישוב הסתברויות

שלב 1: המרה ל-Z

גבהי גברים בישראל: μ = 175 ס"מ, σ = 7 ס"מ.

מה ההסתברות שגבר יהיה גבוה מ-189 ס"מ?

Z = (189 - 175) ÷ 7 = 2

שלב 2: קריאה מטבלה או מחשבון

P(Z > 2) ≈ 0.0228 = 2.28%

רק כ-2.3% מהגברים גבוהים מ-189 ס"מ.

תכונות ההתפלגות הנורמלית

• סימטרית סביב הממוצע
• ממוצע = חציון = שכיח
• השטח מתחת לעקומה = 1 (100%)
• הזנבות נמשכים לאינסוף אך מתקרבים ל-0

מתי לא להשתמש בהתפלגות נורמלית

ההתפלגות הנורמלית לא מתאימה כשהנתונים:

• חיוביים בלבד (כמו משכורות, זמנים)
• א-סימטריים (עם "זנב" ארוך לצד אחד)
• בינאריים (כן/לא)
• מוגבלים לטווח מסוים

משפט הגבול המרכזי

גם אם האוכלוסייה לא מתפלגת נורמלית, ממוצעי מדגמים גדולים (n > 30) מתפלגים בקירוב נורמלית!

זה הבסיס לרוב המבחנים הסטטיסטיים.

טיפים לבגרות

• זכרו את כלל 68-95-99.7
• תמיד המירו ל-Z לפני שימוש בטבלה
• שימו לב לכיוון: P(X > a) או P(X < a)
• ציירו את העקומה והצללו את האזור המבוקש