הסתברות מותנית — הסבר עם דוגמאות

מה זה הסתברות מותנית?

הסתברות מותנית היא ההסתברות שמאורע יקרה, כאשר ידוע שמאורע אחר כבר קרה.

הסימון: P(A|B) נקרא "ההסתברות ל-A בהינתן B" (probability of A given B).

למה זה חשוב? כי מידע חדש משנה הסתברויות! אם יודעים שמשהו קרה, ההסתברות למאורעות אחרים יכולה להשתנות.

הנוסחה

P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B)

כאשר:

• P(A|B) = הסתברות ל-A בהינתן B
• P(A∩B) = הסתברות ש-A וגם B יקרו
• P(B) = הסתברות ש-B יקרה

דוגמה 1: קובייה

שאלה: זרקנו קובייה הוגנת. ידוע שיצא מספר זוגי. מה ההסתברות שיצא 6?

פתרון:

• A = יצא 6
• B = יצא מספר זוגי (2, 4, או 6)
• P(A∩B) = P(יצא 6) = 1/6 (כי 6 הוא גם זוגי)
• P(B) = P(זוגי) = 3/6 = 1/2

P(A|B) = (1/6) ÷ (1/2) = (1/6) × (2/1) = 1/3

הסבר אינטואיטיבי: אם יודעים שיצא זוגי, יש רק 3 אפשרויות: 2, 4, 6. אחת מתוך שלוש היא 6, לכן 1/3.

דוגמה 2: קלפים

שאלה: שולפים קלף מחפיסה. ידוע שהקלף אדום. מה ההסתברות שזה לב?

פתרון:

• A = הקלף הוא לב
• B = הקלף אדום (לב או יהלום)
• P(A∩B) = P(לב) = 13/52 (כי כל הלבבות אדומים)
• P(B) = P(אדום) = 26/52

P(A|B) = (13/52) ÷ (26/52) = 13/26 = 1/2

הבדל חשוב: P(A|B) ≠ P(B|A)

זו טעות נפוצה! סדר האירועים משנה.

ביטוי	משמעות	דוגמה
P(A|B)	הסתברות ל-A בהינתן ש-B קרה	P(גשם|עננים) - אם יש עננים, מה הסיכוי לגשם?
P(B|A)	הסתברות ל-B בהינתן ש-A קרה	P(עננים|גשם) - אם יש גשם, מה הסיכוי לעננים?

P(עננים|גשם) = כמעט 100% (תמיד יש עננים כשיש גשם)
P(גשם|עננים) = הרבה פחות (לא כל עננים מביאים גשם)

מאורעות בלתי תלויים

מאורעות A ו-B נקראים בלתי תלויים אם התרחשות האחד לא משפיעה על השני.

במקרה כזה:

P(A|B) = P(A)
P(A∩B) = P(A) × P(B)

דוגמה: זריקת שתי קוביות. התוצאה של האחת לא משפיעה על השנייה.

משפט בייס

משפט בייס מאפשר "להפוך" הסתברות מותנית:

P(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ P(B)

דוגמה: בדיקה רפואית

בדיקה לזיהוי מחלה:

• 1% מהאוכלוסייה חולים
• רגישות הבדיקה: 95% (אם חולה, הבדיקה חיובית ב-95%)
• ספציפיות: 90% (אם בריא, הבדיקה שלילית ב-90%)

שאלה: קיבלתי תוצאה חיובית. מה הסיכוי שאני באמת חולה?

פתרון עם בייס:

• P(חולה) = 0.01
• P(חיובי|חולה) = 0.95
• P(חיובי|בריא) = 0.10
• P(חיובי) = 0.01×0.95 + 0.99×0.10 = 0.0095 + 0.099 = 0.1085

P(חולה|חיובי) = (0.95 × 0.01) ÷ 0.1085 = 0.0095 ÷ 0.1085 ≈ 8.8%

מפתיע! גם עם בדיקה "טובה", רוב החיוביים הם בריאים.

טיפים לפתרון שאלות

1. זהו מה נתון ומה צריך למצוא

P(A|B) ≠ P(B|A) — וודאו שאתם מחשבים בכיוון הנכון.

2. ציירו דיאגרמת ון או עץ

מאוד עוזר לדמיין את המאורעות והחיתוכים.

3. בדקו הגיון

ההסתברות חייבת להיות בין 0 ל-1.

טעויות נפוצות

1. בלבול בין P(A|B) ל-P(B|A)

קראו את השאלה בזהירות — מה הנתון ומה צריך למצוא?

2. שכחת התנאי

בהסתברות מותנית, מרחב המדגם משתנה! רק המאורעות ש-B קרה בהם רלוונטיים.

3. הנחה שמאורעות בלתי תלויים

אל תניחו שמאורעות בלתי תלויים — בדקו או חשבו!