סיכום חוקי הלוגריתמים
חוקי הלוגריתמים נובעים ישירות מחוקי החזקות, כי לוגריתם הוא הפעולה ההפוכה לחזקה.
3 החוקים המרכזיים
1. חוק המכפלה
log(A · B) = log(A) + log(B)
לוגריתם של מכפלה = סכום לוגריתמים
- log(2 · 5) = log(2) + log(5) = log(10) = 1 ✓
- log₂(8 · 4) = log₂(8) + log₂(4) = 3 + 2 = 5 ✓
- ln(ex) = ln(e) + ln(x) = 1 + ln(x)
2. חוק המנה
log(A / B) = log(A) - log(B)
לוגריתם של מנה = הפרש לוגריתמים
- log(100/10) = log(100) - log(10) = 2 - 1 = 1 ✓
- log₂(32/4) = log₂(32) - log₂(4) = 5 - 2 = 3 ✓
3. חוק החזקה
log(Aⁿ) = n · log(A)
המעריך "יורד" להיות מקדם
- log(10³) = 3 · log(10) = 3 · 1 = 3 ✓
- log₂(2⁵) = 5 · log₂(2) = 5 · 1 = 5 ✓
- ln(e⁴) = 4 · ln(e) = 4
חוקים נוספים
לוגריתם של 1
log_b(1) = 0 (לכל בסיס b)
לוגריתם של הבסיס
log_b(b) = 1
לוגריתם של חזקת הבסיס
log_b(bⁿ) = n
חזקה של לוגריתם
b^(log_b(x)) = x
המרה בין בסיסים
log_a(x) = log_b(x) / log_b(a)
דוגמה: חישוב log₂(10) במחשבון רגיל:
log₂(10) = log₁₀(10) / log₁₀(2) = 1 / 0.301 ≈ 3.32
טבלת סיכום
| חוק | נוסחה | דוגמה |
|---|---|---|
| מכפלה | log(AB) = log(A) + log(B) | log(6) = log(2) + log(3) |
| מנה | log(A/B) = log(A) - log(B) | log(5) = log(10) - log(2) |
| חזקה | log(Aⁿ) = n·log(A) | log(8) = 3·log(2) |
| שורש | log(√A) = ½·log(A) | log(√100) = 1 |
| אחד | log_b(1) = 0 | log(1) = 0 |
| בסיס | log_b(b) = 1 | log₁₀(10) = 1 |
| המרה | log_a(x) = log_b(x)/log_b(a) | log₂(8) = log(8)/log(2) |
דוגמאות לפישוט ביטויים
דוגמה 1: פישוט מכפלה
פשטו: log(x²y³)
= log(x²) + log(y³) = 2·log(x) + 3·log(y)
דוגמה 2: פישוט מנה
פשטו: log(√x / y²)
= log(√x) - log(y²) = ½·log(x) - 2·log(y)
דוגמה 3: כיווץ
כווצו: 2·log(x) + 3·log(y) - log(z)
= log(x²) + log(y³) - log(z) = log(x²y³/z)
פתרון משוואות לוגריתמיות
סוג 1: לוגריתם = מספר
משוואה: log₂(x) = 5
פתרון: x = 2⁵ = 32
סוג 2: לוגריתמים בשני האגפים
משוואה: log(x+1) = log(3)
פתרון: x+1 = 3 → x = 2
סוג 3: משוואה מעריכית
משוואה: 2ˣ = 10
פתרון: log(2ˣ) = log(10) → x·log(2) = 1 → x = 1/log(2) ≈ 3.32
טעויות נפוצות
1. סכום לוגריתמים
❌ log(A + B) = log(A) + log(B)
✅ log(A · B) = log(A) + log(B)
2. לוגריתם של הפרש
❌ log(A - B) = log(A) - log(B)
✅ log(A / B) = log(A) - log(B)
3. חזקה של לוגריתם
❌ (log(A))² = 2·log(A)
✅ log(A²) = 2·log(A)
4. שכחת תנאי
הארגומנט חייב להיות חיובי! log(x) מוגדר רק עבור x > 0.