מה זה לוגריתם?
לוגריתם הוא הפעולה ההפוכה לחזקה. כמו שחילוק הוא ההיפך של כפל, כך לוגריתם הוא ההיפך של העלאה בחזקה.
אם נשאל: "באיזו חזקה צריך להעלות את 2 כדי לקבל 8?" — התשובה היא 3, כי 2³ = 8. בשפת לוגריתמים: log₂(8) = 3.
הגדרה מתמטית
log_b(x) = y ⟺ b^y = x
כאשר:
- b — הבסיס (מספר חיובי שונה מ-1)
- x — הארגומנט (מספר חיובי)
- y — התוצאה (המעריך)
דוגמאות בסיסיות
| לוגריתם | פירוש | חישוב |
|---|---|---|
| log₂(8) = 3 | 2 בחזקת כמה = 8? | 2³ = 8 ✓ |
| log₃(81) = 4 | 3 בחזקת כמה = 81? | 3⁴ = 81 ✓ |
| log₁₀(100) = 2 | 10 בחזקת כמה = 100? | 10² = 100 ✓ |
| log₅(125) = 3 | 5 בחזקת כמה = 125? | 5³ = 125 ✓ |
| log₂(1) = 0 | 2 בחזקת כמה = 1? | 2⁰ = 1 ✓ |
3 סוגי לוגריתמים נפוצים
1. לוגריתם עשרוני (log או log₁₀)
בסיס 10. נפוץ מאוד במדע ובהנדסה.
- log(10) = 1
- log(100) = 2
- log(1000) = 3
2. לוגריתם טבעי (ln)
בסיס e ≈ 2.71828. נפוץ בחדו"א ופיזיקה.
- ln(e) = 1
- ln(e²) = 2
- ln(1) = 0
3. לוגריתם בינארי (log₂)
בסיס 2. נפוץ במדעי המחשב.
- log₂(2) = 1
- log₂(8) = 3
- log₂(1024) = 10
חוקי לוגריתמים בסיסיים
| חוק | נוסחה | דוגמה |
|---|---|---|
| מכפלה | log(A·B) = log(A) + log(B) | log(2·5) = log(2) + log(5) |
| מנה | log(A/B) = log(A) - log(B) | log(8/2) = log(8) - log(2) |
| חזקה | log(Aⁿ) = n·log(A) | log(2³) = 3·log(2) |
| שורש | log(√A) = ½·log(A) | log(√9) = ½·log(9) |
| אחד | log_b(1) = 0 | log₅(1) = 0 |
| בסיס | log_b(b) = 1 | log₃(3) = 1 |
המרה בין בסיסים
log_a(x) = log_b(x) / log_b(a)
דוגמה: חישוב log₂(10) במחשבון שיש בו רק log₁₀:
log₂(10) = log₁₀(10) / log₁₀(2) = 1 / 0.301 ≈ 3.32
שימושים יומיומיים
סולם ריכטר (רעידות אדמה)
עלייה של 1 בסולם = פי 10 בעוצמה. רעידה בעוצמה 6 חזקה פי 10 מרעידה בעוצמה 5.
דציבלים (עוצמת קול)
עלייה של 10 dB = פי 10 בעוצמה. הסולם לוגריתמי כי האוזן תופסת כך.
סולם pH (חומציות)
pH = -log₁₀[H⁺]. כל ירידה ב-1 = פי 10 יותר חומצי.
מדעי המחשב
סיבוכיות אלגוריתמים: O(log n) הוא יעיל מאוד. חיפוש בינארי ברשימה ממוינת הוא O(log n).
טעויות נפוצות
1. לוגריתם של מספר שלילי
❌ log(-5) — לא מוגדר במספרים ממשיים!
✅ הארגומנט חייב להיות חיובי.
2. בלבול log ו-ln
❌ log(e) = 1
✅ ln(e) = 1, אבל log₁₀(e) ≈ 0.434
3. "פיצול" שגוי
❌ log(A + B) = log(A) + log(B)
✅ log(A · B) = log(A) + log(B)
טיפים לפתרון תרגילים
1. תרגמו ללשון חזקות
log₂(x) = 5 → 2⁵ = x → x = 32
2. השתמשו בחוקים כדי לפשט
log(x³) + log(x²) = log(x⁵) = 5log(x)
3. זכרו ערכים נפוצים
- log₁₀(10) = 1
- log₁₀(100) = 2
- log₂(8) = 3
- log₂(16) = 4
- ln(e) = 1