חוקי חזקות ושורשים — כל הנוסחאות

מה זה חזקה?

חזקה היא כפל חוזר של מספר בעצמו. הסימון aⁿ פירושו: לכפול את a בעצמו n פעמים.

דוגמה: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

• a — הבסיס (המספר שמכפילים)
• n — המעריך (כמה פעמים)

7 חוקי החזקות הבסיסיים

1. כפל חזקות (אותו בסיס)

aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ

כשכופלים חזקות עם אותו בסיס — מחברים מעריכים.

• 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128
• x² · x⁵ = x⁷
• 10² · 10³ = 10⁵ = 100,000

2. חילוק חזקות (אותו בסיס)

aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ

כשמחלקים חזקות עם אותו בסיס — מחסרים מעריכים.

• 2⁷ / 2³ = 2⁴ = 16
• x⁸ / x² = x⁶
• 5⁶ / 5⁴ = 5² = 25

3. חזקה של חזקה

(aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ

כשמעלים חזקה בחזקה — כופלים מעריכים.

• (2³)² = 2⁶ = 64
• (x⁴)³ = x¹²
• (10²)³ = 10⁶ = 1,000,000

4. חזקה של מכפלה

(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ

חזקה "נכנסת" לכל גורם במכפלה.

• (2 · 3)² = 2² · 3² = 4 · 9 = 36
• (xy)³ = x³y³
• (2x)⁴ = 2⁴ · x⁴ = 16x⁴

5. חזקה של מנה

(a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

• (3/2)² = 9/4
• (x/y)³ = x³/y³

6. חזקת אפס

a⁰ = 1 (כאשר a ≠ 0)

• 5⁰ = 1
• (-3)⁰ = 1

7. חזקה שלילית

a⁻ⁿ = 1/aⁿ

• 2⁻¹ = 1/2
• 2⁻³ = 1/8
• 10⁻² = 1/100 = 0.01

חזקות שבריות ושורשים

שורש כחזקה שברית

ⁿ√a = a^(1/n)

שורש	כחזקה	דוגמה
√a (שורש ריבועי)	a^(1/2)	√16 = 4
³√a (שורש שלישי)	a^(1/3)	³√27 = 3
⁴√a (שורש רביעי)	a^(1/4)	⁴√81 = 3

חוקי שורשים

כפל שורשים

√a · √b = √(a·b)

• √2 · √8 = √16 = 4
• √3 · √12 = √36 = 6

חילוק שורשים

√a / √b = √(a/b)

• √50 / √2 = √25 = 5

טבלת סיכום

חוק	נוסחה	דוגמה
כפל חזקות	aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ	x² · x³ = x⁵
חילוק חזקות	aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ	x⁵ / x² = x³
חזקה של חזקה	(aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ	(x²)³ = x⁶
חזקה של מכפלה	(ab)ⁿ = aⁿbⁿ	(2x)³ = 8x³
חזקת אפס	a⁰ = 1	7⁰ = 1
חזקה שלילית	a⁻ⁿ = 1/aⁿ	2⁻³ = 1/8
שורש	ⁿ√a = a^(1/n)	√x = x^(1/2)

טעויות נפוצות

1. חיבור מעריכים בכפל בסיסים שונים

❌ 2³ · 3² = 6⁵

✅ 2³ · 3² = 8 · 9 = 72 (אי אפשר לחבר מעריכים!)

2. בלבול בחזקה של סכום

❌ (a + b)² = a² + b²

✅ (a + b)² = a² + 2ab + b²

3. שורש של סכום

❌ √(9 + 16) = √9 + √16 = 7

✅ √(9 + 16) = √25 = 5

טיפים לפתרון

• הפכו שורשים לחזקות שבריות — קל יותר לעבוד איתם
• חפשו בסיס משותף: 8 = 2³, 16 = 2⁴, 32 = 2⁵
• זכרו חזקות נפוצות: 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32