מה זה דטרמיננטה?
דטרמיננטה היא מספר (סקלר) שמחושב ממטריצה ריבועית. מסומנת det(A) או |A|.
למה היא חשובה?
- אם det ≠ 0, המטריצה הפיכה
- אם det = 0, המטריצה סינגולרית (לא הפיכה)
- משמשת לפתרון מערכות משוואות
- מייצגת שטח/נפח בגאומטריה
דטרמיננטה של מטריצה 2×2
עבור מטריצה:
A = [a b]
[c d]
הנוסחה:
det(A) = ad - bc
מכפלת האלכסון הראשי פחות מכפלת האלכסון המשני.
דוגמה
A = [3 2]
[1 4]
det(A) = (3 × 4) - (2 × 1) = 12 - 2 = 10
דטרמיננטה של מטריצה 3×3
יש כמה שיטות. הנפוצה ביותר: פיתוח לפי שורה ראשונה.
עבור מטריצה:
A = [a b c]
[d e f]
[g h i]
הנוסחה:
det(A) = a·det[e f; h i] - b·det[d f; g i] + c·det[d e; g h]
או במפורש:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
דוגמה
A = [2 1 3]
[0 4 1]
[1 2 5]
det(A) = 2·(4·5 - 1·2) - 1·(0·5 - 1·1) + 3·(0·2 - 4·1)
= 2·(20 - 2) - 1·(0 - 1) + 3·(0 - 4)
= 2·18 - 1·(-1) + 3·(-4)
= 36 + 1 - 12 = 25
שיטת סרוס (Sarrus) ל-3×3
שיטה ויזואלית פשוטה יותר:
- כתבו את המטריצה והעתיקו את 2 העמודות הראשונות מימין
- סכמו את מכפלות 3 האלכסונים היורדים (↘)
- חסרו את מכפלות 3 האלכסונים העולים (↗)
לדוגמה הקודמת:
[2 1 3 | 2 1]
[0 4 1 | 0 4]
[1 2 5 | 1 2]
אלכסונים ↘: (2·4·5) + (1·1·1) + (3·0·2) = 40 + 1 + 0 = 41
אלכסונים ↗: (1·4·3) + (2·1·2) + (5·0·1) = 12 + 4 + 0 = 16
det = 41 - 16 = 25 ✓
תכונות חשובות
| תכונה | משמעות |
|---|---|
| det(A) = 0 | A לא הפיכה (סינגולרית) |
| det(AB) = det(A)·det(B) | דטרמיננטה של מכפלה = מכפלת דטרמיננטות |
| det(Aᵀ) = det(A) | שחלוף לא משנה דטרמיננטה |
| det(cA) = cⁿ·det(A) | כפל בסקלר (n = מימד המטריצה) |
| det(A⁻¹) = 1/det(A) | דטרמיננטה של הפוכה = הופכי |
פעולות על שורות ועמודות
| פעולה | השפעה על det |
|---|---|
| החלפת שתי שורות | מכפילה ב-(-1) |
| כפל שורה בסקלר k | מכפילה ב-k |
| הוספת כפולה של שורה לאחרת | לא משנה |
שימושים
1. בדיקת הפיכות
מטריצה A הפיכה ⟺ det(A) ≠ 0
2. פתרון מערכות משוואות (כלל קרמר)
למערכת Ax = b:
xᵢ = det(Aᵢ) / det(A)
כאשר Aᵢ היא A עם עמודה i מוחלפת ב-b.
3. שטח ונפח
|det| של מטריצה 2×2 עם וקטורים = שטח מקבילית
|det| של מטריצה 3×3 עם וקטורים = נפח מקבילון
טעויות נפוצות
1. שכחת מינוסים בפיתוח
הסימנים מתחלפים: +a, -b, +c, ... זכרו את "דמקה"!
2. חישוב דטרמיננטה למטריצה לא ריבועית
דטרמיננטה מוגדרת רק למטריצות ריבועיות (n×n).
3. בלבול עם עקבה (trace)
עקבה = סכום האלכסון הראשי. דטרמיננטה = משהו אחר לגמרי!