מה זו משוואה ריבועית?
משוואה ריבועית היא משוואה מהצורה:
ax² + bx + c = 0
כאשר a, b, c מספרים ו-a ≠ 0 (אחרת זו משוואה לינארית).
דוגמאות:
- x² - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6)
- 2x² + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2)
- x² - 9 = 0 (a=1, b=0, c=-9)
שיטה 1: נוסחת השורשים (עובדת תמיד!)
הנוסחה הכי חשובה באלגברה:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
דוגמה מלאה
פתרו: 2x² + 5x - 3 = 0
שלב 1: זהו את המקדמים
- a = 2, b = 5, c = -3
שלב 2: חשבו את הדיסקרימיננטה
- Δ = b² - 4ac = 25 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49
שלב 3: הציבו בנוסחה
- x = (-5 ± √49) / (2·2) = (-5 ± 7) / 4
שלב 4: פתרונות
- x₁ = (-5 + 7) / 4 = 2/4 = 0.5
- x₂ = (-5 - 7) / 4 = -12/4 = -3
הדיסקרימיננטה קובעת הכול
| Δ = b² - 4ac | מספר פתרונות | משמעות |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 2 פתרונות | הפרבולה חותכת את ציר x בשתי נקודות |
| Δ = 0 | פתרון 1 (כפול) | הפרבולה נוגעת בציר x |
| Δ < 0 | אין (ממשיים) | הפרבולה לא חותכת את ציר x |
שיטה 2: פירוק לגורמים
אם ניתן לכתוב את המשוואה בצורה (x - r)(x - s) = 0, אז x = r או x = s.
דוגמה
פתרו: x² - 7x + 12 = 0
שלב 1: מצאו שני מספרים שסכומם 7 ומכפלתם 12
- 3 + 4 = 7 ✓
- 3 × 4 = 12 ✓
שלב 2: פרקו לגורמים
- x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0
שלב 3: פתרונות
- x - 3 = 0 → x = 3
- x - 4 = 0 → x = 4
טיפ: נוסחאות ויאטה
בלי לפתור, ניתן לדעת:
- סכום השורשים: x₁ + x₂ = -b/a
- מכפלת השורשים: x₁ · x₂ = c/a
שיטה 3: השלמה לריבוע
הופכים את המשוואה לצורה (x + k)² = m.
דוגמה
פתרו: x² + 6x + 5 = 0
שלב 1: העבירו את c לצד השני
- x² + 6x = -5
שלב 2: השלימו לריבוע (הוסיפו (b/2)² לשני הצדדים)
- (6/2)² = 9
- x² + 6x + 9 = -5 + 9
- (x + 3)² = 4
שלב 3: הוציאו שורש
- x + 3 = ±2
שלב 4: פתרונות
- x + 3 = 2 → x = -1
- x + 3 = -2 → x = -5
שיטה 4: ניחוש ובדיקה
לפעמים קל לנחש פתרון ולבדוק.
דוגמה
פתרו: x² - 4 = 0
ניחוש: x = 2
- בדיקה: 2² - 4 = 4 - 4 = 0 ✓
ניחוש: x = -2
- בדיקה: (-2)² - 4 = 4 - 4 = 0 ✓
פתרונות: x = 2 או x = -2
מקרים מיוחדים
1. משוואה חסרת מקדם b (x² + c = 0)
דוגמה: x² - 16 = 0
- x² = 16
- x = ±4
2. משוואה חסרת מקדם c (ax² + bx = 0)
דוגמה: 3x² - 6x = 0
- x(3x - 6) = 0
- x = 0 או x = 2
3. ריבוע שלם
דוגמה: x² - 6x + 9 = 0
- (x - 3)² = 0
- x = 3 (שורש כפול)
באיזו שיטה לבחור?
| מצב | שיטה מומלצת |
|---|---|
| מקדמים פשוטים, ניתן לראות גורמים | פירוק לגורמים |
| b = 0 (רק x² ו-c) | שורש ישיר |
| c = 0 (רק x² ו-bx) | הוצאת x משותף |
| מקדמים מסובכים / לא בטוחים | נוסחת השורשים |
| צריך להבין את התהליך | השלמה לריבוע |
טעויות נפוצות
1. שכחת ± בשורש
❌ x = (-b + √Δ) / 2a (פתרון אחד בלבד)
✅ x = (-b ± √Δ) / 2a (שני פתרונות)
2. טעות בסימן
❌ b = 5 במשוואה x² - 5x + 6 = 0
✅ b = -5 (הסימן חלק מהמקדם)
3. חילוק ב-2a במקום 2
❌ x = -5 ± 7 / 4 (7/4 במקום הכול)
✅ x = (-5 ± 7) / 4 (כל הביטוי מחולק ב-2a)
4. שכחה לבדוק
תמיד הציבו את הפתרון במשוואה המקורית לבדיקה!
תרגול
פתרו את המשוואות הבאות:
- x² - 9 = 0
- x² + 4x + 3 = 0
- 2x² - 7x + 3 = 0
- x² + 2x - 8 = 0
פתרונות:
- x = ±3
- x = -1, x = -3
- x = 3, x = 0.5
- x = 2, x = -4