מה זה כפל מטריצות?
כפל מטריצות הוא פעולה שמייצרת מטריצה חדשה משתי מטריצות קיימות. שונה מכפל רגיל של מספרים!
מתי כפל מוגדר?
A(m×n) × B(n×p) = C(m×p)
התנאי: מספר עמודות ב-A = מספר שורות ב-B
- A(2×3) × B(3×4) = C(2×4) ✓ — מוגדר
- A(2×3) × B(4×3) — לא מוגדר! (3 ≠ 4)
איך מחשבים?
כל איבר C[i,j] בתוצאה מחושב כך:
C[i,j] = שורה i של A · עמודה j של B
כלומר: מכפלה סקלרית של שורה ועמודה.
דוגמה מפורטת: מטריצות 2×2
נחשב: A × B כאשר:
A = | 1 2 | B = | 5 6 |
| 3 4 | | 7 8 |
שלב 1: C[1,1]
שורה 1 של A × עמודה 1 של B:
C[1,1] = 1×5 + 2×7 = 5 + 14 = 19
שלב 2: C[1,2]
שורה 1 של A × עמודה 2 של B:
C[1,2] = 1×6 + 2×8 = 6 + 16 = 22
שלב 3: C[2,1]
שורה 2 של A × עמודה 1 של B:
C[2,1] = 3×5 + 4×7 = 15 + 28 = 43
שלב 4: C[2,2]
שורה 2 של A × עמודה 2 של B:
C[2,2] = 3×6 + 4×8 = 18 + 32 = 50
התוצאה:
C = | 19 22 |
| 43 50 |
תכונות כפל מטריצות
1. לא קומוטטיבי!
A × B ≠ B × A (ברוב המקרים). הסדר משנה!
2. אסוציאטיבי
(A × B) × C = A × (B × C)
3. דיסטריביוטיבי
A × (B + C) = A×B + A×C
4. מטריצת יחידה
A × I = I × A = A
נוסחה כללית
עבור מטריצות A(m×n) ו-B(n×p):
C[i,j] = Σk=1n A[i,k] × B[k,j]
שימושים
1. גרפיקה ממוחשבת
סיבוב, הגדלה, הזזה של עצמים — הכל נעשה עם מטריצות.
2. למידת מכונה
רשתות נוירונים מבוססות על כפל מטריצות ווקטורים.
3. מערכות משוואות
Ax = b — פתרון מערכת משוואות לינאריות.
טעויות נפוצות
1. שכחת בדיקת ממדים
❌ לנסות לכפול A(2×3) × B(2×3)
✅ לוודא: עמודות A = שורות B
2. החלפת סדר
❌ לחשוב ש-AB = BA
✅ A×B ≠ B×A ברוב המקרים
3. כפל איבר-איבר
❌ לכפול כל איבר באיבר המקביל
✅ שורה × עמודה, לא איבר × איבר