מטריצה הופכית — איך מחשבים

מהי מטריצה הופכית?

מטריצה הופכית A⁻¹ מקיימת:

A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I

כאשר I = מטריצת היחידה

תנאי להפיכות

מטריצה הפיכה אם ורק אם det(A) ≠ 0

נוסחה למטריצה 2×2

עבור A = [a,b; c,d]:

A⁻¹ = (1/det) × [d, -b; -c, a]

כאשר det = ad - bc

דוגמה

A = [4, 7; 2, 6]

1. det = 4×6 - 7×2 = 24 - 14 = 10
2. A⁻¹ = (1/10) × [6, -7; -2, 4]
3. A⁻¹ = [0.6, -0.7; -0.2, 0.4]

שיטת גאוס-ג'ורדן

למטריצות גדולות יותר:

1. כותבים [A | I] (מטריצה מורחבת)
2. מבצעים פעולות שורה אלמנטריות
3. הופכים את A ל-I
4. מה שהיה I הופך ל-A⁻¹

תכונות

• (A⁻¹)⁻¹ = A
• (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹
• det(A⁻¹) = 1/det(A)
• (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ

שימושים

• פתרון מערכות משוואות: AX = B → X = A⁻¹B
• גרפיקה ממוחשבת (טרנספורמציות)
• קריפטוגרפיה