עצרת במתמטיקה — מה זה n! ולמה משתמשים

מהי עצרת?

עצרת של מספר n (מסומנת n!) היא מכפלת כל המספרים הטבעיים מ-1 עד n.

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

דוגמאות

• 3! = 3 × 2 × 1 = 6
• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
• 6! = 720
• 7! = 5,040
• 10! = 3,628,800

מקרה מיוחד: 0!

לפי הגדרה: 0! = 1

למה? כי יש דרך אחת בדיוק לסדר 0 פריטים — לא לעשות כלום!

נוסחה רקורסיבית

n! = n × (n-1)!

לדוגמה: 5! = 5 × 4! = 5 × 24 = 120

שימושים בקומבינטוריקה

תמורות (סדר חשוב)

מספר הדרכים לסדר n פריטים: n!

דוגמה: כמה דרכים לסדר 4 ספרים על מדף? 4! = 24 דרכים

צירופים (סדר לא חשוב)

C(n,k) = n! ÷ (k! × (n-k)!)

דוגמה: כמה דרכים לבחור 2 מתוך 5? C(5,2) = 5! ÷ (2! × 3!) = 10

תכונות

• n! גדל מהר מאוד! 20! > 2 מיליארד מיליארד
• n! / (n-1)! = n
• n! = n × (n-1)!