מה זה מחשבון טריגונומטרי?
מחשבון טריגונומטרי מחשב את הפונקציות הטריגונומטריות: סינוס (sin), קוסינוס (cos), טנגנס (tan) ואת ההפוכות שלהן (arcsin, arccos, arctan).
הפונקציות הטריגונומטריות מקשרות בין זוויות לצלעות במשולש ישר זווית. sin(30°) = 0.5 תמיד, בכל משולש, בכל גודל. זו תכונה יסודית שעליה בנויה כל הטריגונומטריה.
טריגונומטריה פותחה על ידי אסטרונומים יוונים לחישוב מרחקים לכוכבים, ומשמשת היום בכל תחום — מאדריכלות ועד GPS.
איך מחשבים ערכים טריגונומטריים?
במשולש ישר זווית: sin = נגדית/יתר, cos = סמוכה/יתר, tan = נגדית/סמוכה. הפונקציות ההפוכות מחזירות זווית מתוך יחס. הזהות היסודית: sin²θ + cos²θ = 1.
נוסחה: sin θ = נגדית/יתר | cos θ = סמוכה/יתר | tan θ = sin θ/cos θ | sin²θ + cos²θ = 1
דוגמה: דוגמה 1: sin(30°) = 0.5. דוגמה 2: cos(60°) = 0.5. דוגמה 3: tan(45°) = 1. דוגמה 4: arcsin(0.5) = 30°. דוגמה 5: sin(90°) = 1, cos(90°) = 0.
מקור: טריגונומטריה — פונקציות יסוד
טבלת ערכי זוויות מיוחדות
| זווית | רדיאנים | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 0.5 | 0.866 | 0.577 |
| 45° | π/4 | 0.707 | 0.707 | 1 |
| 60° | π/3 | 0.866 | 0.5 | 1.732 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | לא מוגדר |
| 120° | 2π/3 | 0.866 | -0.5 | -1.732 |
| 180° | π | 0 | -1 | 0 |
| 270° | 3π/2 | -1 | 0 | לא מוגדר |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
מתי משתמשים בטריגונומטריה?
- מדידת גבהים: לחישוב גובה בניין: h = מרחק × tan(זווית). מרחק 50מ' וזווית 45° → h = 50מ'
- פיזיקה — גלים: y = A·sin(ωt) מתאר תנודה. גל קול, גל אור, מטוטלת
- הנדסת בניין: חישוב כוחות בגשר משולשים, זוויות גג, שיפועי רמפות
- ניווט ו-GPS: טריאנגולציה — חישוב מיקום מ-3 לוויינים
- גרפיקה ממוחשבת: סיבוב עצמים: x' = x·cos(θ) - y·sin(θ)
- מוזיקה: צליל = גל סינוסואידי. תדר 440Hz = A (לה) מעל C אמצעי
- אסטרונומיה: פרלקסה — מדידת מרחק לכוכבים באמצעות זוויות
שאלות נפוצות
מה ההבדל בין מעלות לרדיאנים?
מעלות: מעגל שלם = 360°. רדיאנים: מעגל שלם = 2π. המרה: רדיאנים = מעלות × π/180. רדיאנים נפוצים יותר במתמטיקה ופיזיקה.
מה קורה כש-cos=0 בחישוב tan?
tan = sin/cos, לכן כשcos=0 (בזוויות 90°, 270°...) ה-tan לא מוגדר (חילוק באפס). בנקודות אלה יש אסימפטוטות אנכיות.
איך לזכור ערכי זוויות מיוחדות?
לזוויות 0°, 30°, 45°, 60°, 90° יש ערכים מדויקים: sin = √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 (כלומר 0, 0.5, 0.707, 0.866, 1).
מה זה arcsin, arccos, arctan?
אלה הפונקציות ההפוכות. arcsin(0.5) = 30° (כי sin(30°) = 0.5). הן מחזירות זווית מתוך יחס. טווח arcsin: -90° עד 90°.
מה זה זהות טריגונומטרית?
משוואה שתמיד נכונה. הזהות הבסיסית: sin²θ + cos²θ = 1. זהויות נוספות: tan = sin/cos, 1+tan² = sec², 1+cot² = csc².
טריגונומטריה — פונקציות יסוד וזהויות