מה זה מחשבון פיתגורס?
מחשבון פיתגורס משתמש במשפט פיתגורס לחישוב צלעות במשולש ישר זווית. המשפט קובע: סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. a² + b² = c².
השלשה הפיתגורית הנפוצה ביותר היא 3-4-5: 9 + 16 = 25. שלשות נוספות: 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. כפולות גם עובדות: 6-8-10, 9-12-15.
המשפט מיוחס למתמטיקאי היווני פיתגורס (570-495 לפנה"ס), אך היה ידוע גם לבבלים לפני 3,700 שנה. יש למעלה מ-400 הוכחות שונות למשפט.
איך משתמשים במשפט פיתגורס?
במשולש ישר זווית עם ניצבים a,b ויתר c (הצלע הארוכה מול הזווית הישרה): a² + b² = c². ניתן למצוא כל צלע אם ידועות שתי האחרות.
נוסחה: c = √(a² + b²) | a = √(c² - b²) | b = √(c² - a²)
דוגמה: דוגמה 1: ניצבים 3,4 → יתר = √25 = 5. דוגמה 2: יתר 13, ניצב 5 → ניצב = √144 = 12. דוגמה 3: ניצבים 5,12 → יתר = √169 = 13. דוגמה 4: אלכסון טלוויזיה 55" עם יחס 16:9 → רוחב 48", גובה 27".
מקור: גאומטריה — משפט פיתגורס
שלשות פיתגוריות נפוצות
| ניצב a | ניצב b | יתר c | בדיקה: a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 6 | 8 | 10 | 36+64=100 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 9 | 12 | 15 | 81+144=225 ✓ |
| 9 | 40 | 41 | 81+1600=1681 ✓ |
| 12 | 16 | 20 | 144+256=400 ✓ |
| 20 | 21 | 29 | 400+441=841 ✓ |
מתי משתמשים במשפט פיתגורס?
- בדיקת זווית ישרה: לבנאים — מודדים 3מ', 4מ' על הקירות ובודקים שהאלכסון 5מ'
- אלכסון מסך: טלוויזיה 48" × 27" → אלכסון = √(2304+729) = √3033 ≈ 55"
- מרחק אווירי: מתל אביב לחיפה: 80ק"מ צפון, 20ק"מ מזרח → √6800 ≈ 82ק"מ
- גרפיקה: מרחק בין (0,0) ל-(3,4) = √(9+16) = 5 פיקסלים
- סולם: סולם 5מ' נשען על קיר בגובה 4מ' → רגל הסולם 3מ' מהקיר
- רמפה: רמפה באורך 10מ' לגובה 1מ' → מרחק אופקי = √99 ≈ 9.95מ'
- תלת מימד: אלכסון קופסה = √(a² + b² + c²)
שאלות נפוצות
מה זה שלשה פיתגורית?
שלשת מספרים שלמים שמקיימים את משפט פיתגורס. הנפוצות: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25). כפולות שלהן גם תקינות.
האם המשפט עובד למשולשים לא ישרי זווית?
לא במדויק. למשולש חד זווית: a²+b² > c². למשולש קהה זווית: a²+b² < c². זה משמש גם לזיהוי סוג המשולש.
מה הקשר בין פיתגורס למרחק במישור?
המרחק בין נקודות (x₁,y₁) ו-(x₂,y₂) הוא √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) — זה בעצם פיתגורס על ההפרשים בצירים.
האם משפט פיתגורס עובד בתלת מימד?
כן! אלכסון קופסה: d = √(a² + b² + c²). זה הרחבה של פיתגורס ל-3 מימדים.
איך בודקים אם משולש הוא ישר-זווית?
בודקים אם a² + b² = c² (כש-c הצלע הארוכה ביותר). אם כן — ישר זווית. אם a²+b² > c² — חד זווית. אם a²+b² < c² — קהה זווית.
גאומטריה — משפט פיתגורס