מה זה טריגונומטריה?
טריגונומטריה היא הקשר בין זוויות לצלעות במשולשים. שלוש הפונקציות הבסיסיות — סינוס, קוסינוס וטנגנס — מתארות יחסים במשולש ישר זווית.
ההגדרות הבסיסיות
במשולש ישר זווית, עבור זווית α (שאינה הזווית הישרה):
| פונקציה | הגדרה | נוסחה |
|---|---|---|
| סינוס (sin) | ניצב נגדי חלקי יתר | sin(α) = נגדי / יתר |
| קוסינוס (cos) | ניצב סמוך חלקי יתר | cos(α) = סמוך / יתר |
| טנגנס (tan) | ניצב נגדי חלקי סמוך | tan(α) = נגדי / סמוך |
איך זוכרים?
SOH-CAH-TOA
- SOH: Sin = Opposite / Hypotenuse
- CAH: Cos = Adjacent / Hypotenuse
- TOA: Tan = Opposite / Adjacent
דוגמה מפורטת: משולש 3-4-5
במשולש ישר זווית עם ניצבים 3 ו-4 ויתר 5, עבור הזווית α (מול הניצב באורך 3):
- sin(α) = 3/5 = 0.6
- cos(α) = 4/5 = 0.8
- tan(α) = 3/4 = 0.75
טבלת ערכים נפוצים
| זווית | רדיאנים | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | ∞ |
מעגל היחידה
מעגל היחידה הוא מעגל ברדיוס 1 עם מרכז בראשית. לכל זווית θ:
- הקואורדינטה x = cos(θ)
- הקואורדינטה y = sin(θ)
סימנים ברביעים
| רביע | זוויות | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°-90° | + | + | + |
| II | 90°-180° | + | - | - |
| III | 180°-270° | - | - | + |
| IV | 270°-360° | - | + | - |
זהויות טריגונומטריות חשובות
זהות פיתגורס
sin²(θ) + cos²(θ) = 1
תמיד נכון לכל זווית! נובע ממשפט פיתגורס.
קשר בין הפונקציות
tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
זהויות נוספות
- sin(-θ) = -sin(θ) — פונקציה אי-זוגית
- cos(-θ) = cos(θ) — פונקציה זוגית
- sin(90° - θ) = cos(θ)
- cos(90° - θ) = sin(θ)
שימושים מעשיים
1. מציאת גובה/מרחק
בעיה: עומדים 50 מטר ממגדל, זווית ההסתכלות למעלה היא 60°. מה גובה המגדל?
tan(60°) = גובה / 50
גובה = 50 × tan(60°) = 50 × √3 ≈ 86.6 מטר
2. פיזיקה
פירוק כוחות לרכיבים: כוח בזווית θ מתפרק ל-F·cos(θ) ו-F·sin(θ).
פונקציות הפוכות
- arcsin או sin⁻¹ — מהי הזווית ש-sin שלה = x?
- arccos או cos⁻¹ — מהי הזווית ש-cos שלה = x?
- arctan או tan⁻¹ — מהי הזווית ש-tan שלה = x?
דוגמה: sin(θ) = 0.5, מה θ? → θ = arcsin(0.5) = 30°
טעויות נפוצות
1. בלבול נגדי/סמוך
❌ לחשוב שהניצב הסמוך הוא תמיד הקצר
✅ הניצב הסמוך הוא זה שיוצר את הזווית (לא מולה)
2. שכחת מצב מחשבון
❌ לחשב sin(30) ולקבל תוצאה מוזרה
✅ לוודא שהמחשבון במצב DEG (מעלות) ולא RAD (רדיאנים)
3. tan(90°)
❌ לחשוב ש-tan(90°) = מספר כלשהו
✅ tan(90°) לא מוגדר (חילוק באפס)