מה זה משפט פיתגורס?
משפט פיתגורס הוא אחד המשפטים החשובים ביותר בגאומטריה. הוא מתאר את היחס בין צלעות משולש ישר-זווית.
a² + b² = c²
כאשר:
- a ו-b הם הניצבים (הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה)
- c הוא היתר (הצלע הארוכה ביותר, מול הזווית הישרה)
דוגמה בסיסית
נתון משולש ישר-זווית עם ניצבים באורך 3 ס"מ ו-4 ס"מ. מה אורך היתר?
- a = 3, b = 4
- c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
- c = √25 = 5 ס"מ
3 סוגי שאלות עם משפט פיתגורס
1. מציאת היתר (כשידועים שני הניצבים)
c = √(a² + b²)
דוגמה: ניצבים 6 ו-8 → c = √(36 + 64) = √100 = 10
2. מציאת ניצב (כשידועים היתר וניצב אחד)
a = √(c² - b²)
דוגמה: יתר 13, ניצב 5 → a = √(169 - 25) = √144 = 12
3. בדיקה האם משולש ישר-זווית
אם a² + b² = c² (כאשר c הצלע הגדולה), המשולש ישר-זווית.
דוגמה: צלעות 5, 12, 13:
- 5² + 12² = 25 + 144 = 169
- 13² = 169
- 169 = 169 ✓ → ישר-זווית
שלשות פיתגוריות נפוצות
שלשת פיתגורס היא שלושה מספרים שלמים שמקיימים a² + b² = c².
| a | b | c | בדיקה |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9 + 16 = 25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25 + 144 = 169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64 + 225 = 289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49 + 576 = 625 ✓ |
| 6 | 8 | 10 | 36 + 64 = 100 ✓ |
| 9 | 12 | 15 | 81 + 144 = 225 ✓ |
טיפ: כל כפולה של שלשת פיתגורס היא גם שלשת פיתגורס. (3,4,5) × 2 = (6,8,10), × 3 = (9,12,15).
שימושים בחיי היומיום
1. אלכסון מסך (טלוויזיה, מחשב)
גודל מסך נמדד באלכסון. טלוויזיה 55" עם יחס 16:9:
- רוחב : גובה = 16 : 9
- אלכסון² = רוחב² + גובה²
- 55² = (16x)² + (9x)²
- 3025 = 256x² + 81x² = 337x²
- x ≈ 3 → רוחב ≈ 48", גובה ≈ 27"
2. גובה סולם על קיר
סולם באורך 5 מטר נשען על קיר, בסיסו 3 מטר מהקיר. עד כמה גבוה הוא מגיע?
- גובה² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16
- גובה = 4 מטר
3. מרחק בין שתי נקודות
המרחק בין (x₁, y₁) ל-(x₂, y₂):
d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
דוגמה: מרחק בין (1,2) ל-(4,6):
- d = √[(4-1)² + (6-2)²] = √[9 + 16] = √25 = 5
4. אלכסון מלבן
מלבן ברוחב 8 ואורך 15. מה אורך האלכסון?
- d = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17
טעויות נפוצות
1. בלבול בין היתר לניצב
❌ היתר הוא הצלע הקצרה
✅ היתר הוא תמיד הצלע הארוכה ביותר, מול הזווית הישרה
2. שכחה להוציא שורש
❌ c = a² + b² = 9 + 16 = 25
✅ c² = 25, אז c = √25 = 5
3. שימוש במשולש לא ישר-זווית
משפט פיתגורס עובד רק על משולשים ישרי-זווית. למשולשים אחרים יש את משפט הקוסינוסים.
הוכחת משפט פיתגורס
יש מעל 400 הוכחות למשפט! הנה ההוכחה הוויזואלית הפשוטה ביותר:
הוכחה גאומטרית (סידור ריבועים)
- בנו ריבוע על כל צלע של משולש ישר-זווית
- שטח הריבוע על ניצב a = a²
- שטח הריבוע על ניצב b = b²
- שטח הריבוע על היתר c = c²
- סכום שטחי הריבועים על הניצבים = שטח הריבוע על היתר
- לכן: a² + b² = c²
הרחבות
משפט פיתגורס בתלת-מימד
לאלכסון של תיבה עם צלעות a, b, c:
d = √(a² + b² + c²)
מרחק בין נקודות בתלת-מימד
המרחק בין (x₁, y₁, z₁) ל-(x₂, y₂, z₂):
d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]
ההפך ממשפט פיתגורס
אם במשולש a² + b² = c², אז המשולש ישר-זווית והזווית הישרה מול הצלע c.