מה זה מחשבון כפל מטריצות?
מחשבון כפל מטריצות מבצע כפל בין שתי מטריצות. כפל מטריצות הוא פעולה יסודית באלגברה לינארית, שונה מכפל רגיל — הסדר חשוב (AB ≠ BA בדרך כלל).
כדי לכפול A×B, מספר העמודות של A חייב להיות שווה למספר השורות של B. מטריצה 2×3 כפול 3×4 = מטריצה 2×4. אם הגדלים לא מתאימים, הכפל לא מוגדר.
מטריצות הומצאו במאה ה-19 על ידי קיילי וסילבסטר. היום הן הבסיס לגרפיקה ממוחשבת, AI, קוונטים, וכמעט כל תחום מדעי.
איך כופלים מטריצות?
כל איבר C[i,j] בתוצאה הוא מכפלה סקלרית של שורה i ב-A ועמודה j ב-B: סכום המכפלות של איברים מתאימים.
נוסחה: C[i,j] = Σₖ A[i,k] × B[k,j]
דוגמה: דוגמה: A=[1,2;3,4], B=[5,6;7,8]. C=[1×5+2×7, 1×6+2×8; 3×5+4×7, 3×6+4×8] = [19,22;43,50]. טיפ: שורה i של A "נפגשת" עם עמודה j של B.
מקור: אלגברה לינארית — כפל מטריצות
מתי משתמשים בכפל מטריצות?
- גרפיקה 3D: סיבוב נקודה בזווית θ: [cosθ,-sinθ;sinθ,cosθ] × [x;y]
- בינה מלאכותית: שכבה ברשת נוירונים: output = W × input + bias
- קוונטים: מצב קוונטי מיוצג כווקטור, אופרטורים כמטריצות
- מודל קלט-פלט: x = (I-A)⁻¹ × d — חישוב ייצור מביקוש
- מרקוב: P^n — הסתברויות מצב אחרי n צעדים
- דחיסת תמונה: SVD — פירוק לערכים סינגולריים
שאלות נפוצות
למה AB ≠ BA?
כפל מטריצות לא קומוטטיבי — הסדר משנה. לעיתים BA אפילו לא מוגדר (אם הגדלים לא מתאימים). מטריצות מרובעות יכולות להיכפל בשני הכיוונים אבל בדרך כלל יתנו תוצאות שונות.
מה זה מטריצת יחידה?
מטריצת היחידה I היא מטריצה עם 1 על האלכסון ו-0 בשאר. היא ניטרלית לכפל: A×I = I×A = A. משמשת כ"1" של עולם המטריצות.
מתי כפל מטריצות לא מוגדר?
כפל A×B מוגדר רק אם מספר העמודות של A שווה למספר השורות של B. למשל, 2×3 כפול 3×4 = 2×4, אבל 2×3 כפול 2×3 לא מוגדר.
מה זה מטריצה הופכית?
A⁻¹ היא מטריצה כך ש-A×A⁻¹ = A⁻¹×A = I (מטריצת יחידה). קיימת רק אם det(A) ≠ 0.
מה זה שחלוף מטריצה (Transpose)?
Aᵀ היא המטריצה שבה שורות הופכות לעמודות. אם A היא m×n, אז Aᵀ היא n×m. (AB)ᵀ = BᵀAᵀ.
אלגברה לינארית — מטריצות