מה זה מחשבון מטריצה הופכית?
מחשבון מטריצה הופכית מחשב את A⁻¹ — המטריצה ההופכית של מטריצה ריבועית A. המטריצה ההופכית מקיימת A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I (מטריצת יחידה).
לא כל מטריצה הפיכה! מטריצה הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס (det(A) ≠ 0). מטריצה עם det=0 נקראת "סינגולרית" או "לא הפיכה".
המטריצה ההופכית חיונית בפתרון מערכות משוואות לינאריות: Ax = b → x = A⁻¹b. היא משמשת גם בגרפיקה ממוחשבת, קריפטוגרפיה, ובינה מלאכותית.
איך מחשבים מטריצה הופכית?
למטריצה 2×2 יש נוסחה פשוטה. למטריצה 3×3 משתמשים בשיטת המטריצה הצמודה.
נוסחה: A⁻¹ = (1/det(A)) × adj(A)
דוגמה: דוגמה 2×2: A = [[4,7],[2,6]]. det(A) = 24-14 = 10. A⁻¹ = (1/10) × [[6,-7],[-2,4]] = [[0.6,-0.7],[-0.2,0.4]]. בדיקה: A×A⁻¹ = I ✓
מקור: אלגברה לינארית
תכונות מטריצה הופכית
| תכונה | נוסחה | הערה |
|---|---|---|
| הופכית של הופכית | (A⁻¹)⁻¹ = A | חזרה למקור |
| הופכית של שחלוף | (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ | ניתן להחליף סדר |
| הופכית של מכפלה | (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ | סדר הפוך! |
| הופכית של סקלר | (kA)⁻¹ = (1/k)A⁻¹ | k ≠ 0 |
| דטרמיננטה של הופכית | det(A⁻¹) = 1/det(A) | הופכית של הדטרמיננטה |
מתי משתמשים במטריצה הופכית?
- מערכות משוואות: Ax = b → x = A⁻¹b — פתרון ישיר של n משוואות עם n נעלמים
- גרפיקה ממוחשבת: טרנספורמציות הופכיות (החזרת אובייקט למצב קודם)
- רגרסיה לינארית: β = (XᵀX)⁻¹Xᵀy — נוסחת OLS לחיזוי
- קריפטוגרפיה: הצפנה Hill Cipher משתמשת במטריצות הפיכות
- מעגלים חשמליים: ניתוח מעגלים בשיטת צמתים/לולאות
- כלכלה: מודל Leontief של תשומה-תפוקה
שאלות נפוצות
מתי מטריצה לא הפיכה?
מטריצה לא הפיכה כאשר det(A) = 0. זה קורה כששורות/עמודות תלויות לינארית (למשל שורה אחת כפולה של אחרת). מטריצה כזו נקראת "סינגולרית".
מה ההבדל בין adj(A) ל-Aᵀ?
Aᵀ (שחלוף) מחליף שורות בעמודות. adj(A) (צמודה) היא השחלוף של מטריצת הקופקטורים — תהליך מורכב יותר. A⁻¹ = (1/det)×adj(A).
למה הנוסחה ל-2×2 פשוטה יותר?
עבור [[a,b],[c,d]]: A⁻¹ = (1/(ad-bc)) × [[d,-b],[-c,a]]. פשוט להחליף את האיברים על האלכסון ולהפוך סימנים מחוץ לו. נוסחה שקל לזכור!
האם (AB)⁻¹ = A⁻¹B⁻¹?
לא! (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ — הסדר הפוך. כלומר קודם מבטלים את B ואז את A. זה נקרא "הפיכת סדר" בכפל הופכיות.
איך בודקים שהתוצאה נכונה?
מכפילים A × A⁻¹ וצריך לקבל I (מטריצת יחידה: אחדות על האלכסון, אפסים מחוץ לו). אם לא — טעות בחישוב.
אלגברה לינארית — גילברט סטראנג