מה זה מחשבון שטח ונפח?
מחשבון שטח ונפח מחשב מידות של צורות גאומטריות נפוצות: שטח עיגול, משולש, מלבן, ונפח כדור וקובייה. כל צורה דורשת נוסחה ייחודית.
שטח הוא מידה דו-ממדית ביחידות² (מ"ר, סמ"ר). נפח הוא מידה תלת-ממדית ביחידות³ (מ"ק, ליטר). 1 מ"ר = 10,000 סמ"ר, 1 מ"ק = 1,000 ליטר.
ארכימדס גילה שנפח כדור = ⅔ מנפח הגליל העוטף אותו. זה אחד ההישגים הגדולים של המתמטיקה העתיקה.
נוסחאות שטח ונפח
כל צורה יש לה נוסחה משלה. עיגול תלוי ברדיוס, משולש בבסיס וגובה, מלבן באורך ורוחב, כדור ברדיוס, קובייה בצלע.
נוסחה: עיגול: A=πr² | משולש: A=½bh | מלבן: A=ab | כדור: V=⁴⁄₃πr³ | קובייה: V=a³
דוגמה: דוגמה 1: עיגול r=5 → A≈78.5. דוגמה 2: משולש b=6,h=4 → A=12. דוגמה 3: כדור r=3 → V≈113. דוגמה 4: קובייה צלע 10 → V=1000. דוגמה 5: כדור הארץ r≈6371ק"מ → V≈1 טריליון קמ"ק.
מקור: גאומטריה — שטחים ונפחים
מתי משתמשים בנוסחאות אלה?
- עיגול — פיצה: פיצה 12" (r=15ס"מ) → A≈707 סמ"ר. פיצה 16" גדולה פי 1.8!
- משולש — גג: גג משולש בסיס 10מ, גובה 4מ → שטח רעפים = 20 מ"ר
- מלבן — חדר: חדר 4×5 מ = 20 מ"ר. כמה אריחים 50×50 ס"מ? 80 אריחים
- כדור — כדורגל: r≈11ס"מ → V≈5575 סמ"ק
- קובייה — קרח: קוביית קרח 3×3×3 ס"מ = 27 סמ"ק = 27 גרם מים
- טרפז — חלקה: חלקת אדמה בסיסים 20מ,30מ, גובה 40מ → (20+30)×40/2 = 1000 מ"ר
שאלות נפוצות
מה ההבדל בין היקף לשטח?
היקף הוא אורך הקו שמקיף את הצורה (מ', ס"מ). שטח הוא גודל הפנים שבתוך הצורה (מ"ר, סמ"ר). היקף עיגול = 2πr, שטח = πr².
למה נפח כדור כולל ⁴⁄₃?
זה נובע מאינטגרציה של עיגולים בגודל משתנה לאורך הכדור. ארכימדס גילה שנפח כדור = ⅔ מנפח גליל עוטף (2πr³), כלומר ⁴⁄₃πr³.
איך ממירים יחידות שטח?
1 מ"ר = 10,000 סמ"ר (כי 1מ = 100ס"מ, ובריבוע 100² = 10,000). 1 דונם = 1,000 מ"ר. 1 הקטר = 10,000 מ"ר.
מה שטח טרפז?
S = (a+b)×h/2, כאשר a ו-b הם הבסיסים המקבילים ו-h הגובה ביניהם. זו למעשה ממוצע הבסיסים כפול הגובה.
מה נפח פירמידה וחרוט?
נפח פירמידה = (1/3) × שטח בסיס × גובה. נפח חרוט = (1/3)πr²h. שניהם שליש מהמנסרה/גליל המתאים.
גאומטריה — שטחים ונפחים