מחשבון אינטגרלים

מה זה מחשבון אינטגרלים?

מחשבון אינטגרלים מחשב אינטגרלים (אי מסוימים ומסוימים). האינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לנגזרת — מוצא פונקציה שהנגזרת שלה היא הפונקציה הנתונה.

אינטגרל לא מסוים (∫f(x)dx) נותן משפחת פונקציות + C (קבוע אינטגרציה). אינטגרל מסוים (∫ₐᵇf(x)dx) נותן מספר — השטח מתחת לגרף בין a ל-b.

המשפט היסודי של החדו"א מקשר בין נגזרות לאינטגרלים: אינטגרל מסוים = הפרש ערכי הפונקציה הקדומה בקצוות. זהו אחד המשפטים החשובים ביותר במתמטיקה.

איך מחשבים אינטגרל?

מחפשים פונקציה F שנגזרתה היא f (פונקציה קדומה). לאינטגרל מסוים: F(b) - F(a). משתמשים בכללי אינטגרציה, הצבה, או חלקים.

נוסחה: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C | ∫sin(x)dx = -cos(x) + C | ∫cos(x)dx = sin(x) + C | ∫eˣdx = eˣ + C

דוגמה: דוגמה 1: ∫x³dx = x⁴/4 + C. דוגמה 2: ∫₀¹ 3x²dx = [x³]₀¹ = 1. דוגמה 3: ∫(1/x)dx = ln|x| + C. דוגמה 4: ∫e²ˣdx = e²ˣ/2 + C. דוגמה 5: ∫₀^π sin(x)dx = [-cos(x)]₀^π = 2.

מקור: חשבון אינפיניטסימלי — אינטגרלים

מתי משתמשים באינטגרלים?

• שטח מתחת לגרף: ∫₀² x²dx = 8/3 יחידות שטח
• שטח בין גרפים: ∫(f(x) - g(x))dx כשהפונקציות נחתכות
• נפח גוף סיבוב: V = π∫[f(x)]²dx — שיטת הדיסקות
• פיזיקה — מיקום: x = ∫v(t)dt. אם v=10, אז x = 10t + x₀
• פיזיקה — עבודה: W = ∫F·dx. עבודה = כוח × מרחק משתנה
• הסתברות: P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x)dx לצפיפות רציפה
• תוחלת: E[X] = ∫x·f(x)dx — ממוצע משוקלל רציף

שאלות נפוצות

חשבון אינפיניטסימלי — אינטגרלים