מה זה מחשבון נגזרות?
מחשבון נגזרות מחשב את הנגזרת של פונקציה. הנגזרת מבטאת את קצב השינוי של הפונקציה — כמה מהר y משתנה כש-x משתנה ב-1.
הנגזרת f'(x) נותנת את שיפוע המשיק לגרף בכל נקודה. אם f'(x) > 0 הפונקציה עולה, אם f'(x) < 0 היא יורדת, ואם f'(x) = 0 זו נקודת קיצון אפשרית.
החשבון הדיפרנציאלי הומצא במקביל על ידי ניוטון ולייבניץ במאה ה-17, והוא הבסיס למדעים המודרניים — מפיזיקה ועד כלכלה.
איך מחשבים נגזרת?
משתמשים בכללי גזירה בסיסיים: חזקה (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹, קבוע (c)' = 0, טריגונומטריה, ופונקציה מעריכית. לפונקציות מורכבות משתמשים בכלל השרשרת, המכפלה או המנה.
נוסחה: (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ | (sin x)' = cos x | (cos x)' = -sin x | (eˣ)' = eˣ | (ln x)' = 1/x
דוגמה: דוגמה 1: (x³)' = 3x². דוגמה 2: (3x² + 2x - 5)' = 6x + 2. דוגמה 3: (sin(2x))' = 2cos(2x). דוגמה 4: (x·eˣ)' = eˣ + x·eˣ = eˣ(1+x). דוגמה 5: (1/x)' = -1/x².
מקור: חשבון אינפיניטסימלי — נגזרות
מתי משתמשים בנגזרות?
- אופטימיזציה: מציאת רווח מקסימלי — נגזרת = 0 ונגזרת שנייה שלילית
- פיזיקה — מהירות: v = dx/dt. אם x(t) = 5t², אז v = 10t מ/ש
- פיזיקה — תאוצה: a = dv/dt = d²x/dt². נגזרת שנייה של מיקום
- כלכלה — עלות שולית: MC = dC/dQ. עלות ייצור יחידה נוספת
- חקירת פונקציה: f' קובעת עלייה/ירידה, f'' קובעת קמירות
- קירוב לינארי: f(x₀+h) ≈ f(x₀) + f'(x₀)·h לערכי h קטנים
- בעיות קצה: מציאת נקודת מגע משיק לעקומה
שאלות נפוצות
מה ההבדל בין נגזרת ראשונה לשנייה?
נגזרת ראשונה (f') מודדת קצב שינוי — שיפוע. נגזרת שנייה (f'') מודדת קצב שינוי השיפוע — קמירות. f''>0 = הגרף קמור למעלה.
מתי הנגזרת לא קיימת?
הנגזרת לא קיימת בנקודות לא רציפות, פינות חדות (כמו |x| ב-x=0), או אנכיות (שיפוע אינסופי).
מה זה כלל השרשרת?
כלל השרשרת משמש לגזירת הרכבת פונקציות: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x). למשל: (sin(x²))' = cos(x²) · 2x.
מה זה כלל המכפלה?
(f·g)' = f'·g + f·g'. למשל: (x²·sin(x))' = 2x·sin(x) + x²·cos(x). "נגזרת ראשון כפול שני ועוד ראשון כפול נגזרת שני".
מה זה כלל המנה?
(f/g)' = (f'·g - f·g') / g². למשל: (sin(x)/x)' = (cos(x)·x - sin(x)·1) / x² = (x·cos(x) - sin(x)) / x².
חשבון אינפיניטסימלי — נגזרות וכללי גזירה