טבלת נגזרות ואינטגרלים — דף נוסחאות

נגזרות בסיסיות

פונקציה f(x)	נגזרת f'(x)	דוגמה
c (קבוע)	0	(5)' = 0
x	1	(x)' = 1
xⁿ	n·xⁿ⁻¹	(x³)' = 3x²
√x = x^(1/2)	1/(2√x)	(√x)' = 1/(2√x)
1/x = x⁻¹	-1/x²	(1/x)' = -1/x²
1/xⁿ	-n/xⁿ⁺¹	(1/x²)' = -2/x³

נגזרות מעריכיות ולוגריתמיות

פונקציה	נגזרת	דוגמה
eˣ	eˣ	(eˣ)' = eˣ
aˣ	aˣ · ln(a)	(2ˣ)' = 2ˣ · ln(2)
ln(x)	1/x	(ln x)' = 1/x
logₐ(x)	1/(x · ln a)	(log₂ x)' = 1/(x·ln 2)

נגזרות טריגונומטריות

פונקציה	נגזרת
sin(x)	cos(x)
cos(x)	-sin(x)
tan(x)	1/cos²(x) = sec²(x)
cot(x)	-1/sin²(x) = -csc²(x)
sec(x)	sec(x)·tan(x)
csc(x)	-csc(x)·cot(x)

נגזרות טריגונומטריות הפוכות

פונקציה	נגזרת
arcsin(x)	1/√(1-x²)
arccos(x)	-1/√(1-x²)
arctan(x)	1/(1+x²)

כללי גזירה

כפל בקבוע

(c · f)' = c · f'

דוגמה: (5x³)' = 5 · 3x² = 15x²

סכום והפרש

(f ± g)' = f' ± g'

דוגמה: (x² + 3x)' = 2x + 3

כלל המכפלה

(f · g)' = f' · g + f · g'

דוגמה: (x² · sin x)' = 2x · sin x + x² · cos x

כלל המנה

(f/g)' = (f' · g - f · g') / g²

דוגמה: (x/eˣ)' = (1·eˣ - x·eˣ) / e²ˣ = (1-x)/eˣ

כלל השרשרת

[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)

דוגמה: (sin 3x)' = cos(3x) · 3 = 3cos(3x)

אינטגרלים בסיסיים

פונקציה	אינטגרל	תנאי
xⁿ	xⁿ⁺¹/(n+1) + C	n ≠ -1
1/x	ln|x| + C	x ≠ 0
eˣ	eˣ + C
aˣ	aˣ/ln(a) + C	a > 0, a ≠ 1

אינטגרלים טריגונומטריים

פונקציה	אינטגרל
sin(x)	-cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C
1/cos²(x)	tan(x) + C
1/sin²(x)	-cot(x) + C
tan(x)	-ln|cos x| + C
cot(x)	ln|sin x| + C

אינטגרלים מיוחדים

פונקציה	אינטגרל
1/(1+x²)	arctan(x) + C
1/√(1-x²)	arcsin(x) + C
1/(a²+x²)	(1/a)·arctan(x/a) + C
1/√(a²-x²)	arcsin(x/a) + C

שיטות אינטגרציה

1. אינטגרציה בהצבה

כאשר יש פונקציה מורכבת:

∫f(g(x)) · g'(x) dx = ∫f(u) du

כאשר u = g(x)

דוגמה: ∫2x · cos(x²) dx

• נציב u = x², אז du = 2x dx
• ∫cos(u) du = sin(u) + C = sin(x²) + C

2. אינטגרציה בחלקים

∫u dv = uv - ∫v du

דוגמה: ∫x · eˣ dx

• u = x, dv = eˣ dx
• du = dx, v = eˣ
• = x·eˣ - ∫eˣ dx = x·eˣ - eˣ + C = eˣ(x-1) + C

בחירת u ו-dv (LIATE)

סדר עדיפויות לבחירת u:

1. Logarithmic (ln x)
2. Inverse trig (arcsin, arctan)
3. Algebraic (x², x)
4. Trigonometric (sin, cos)
5. Exponential (eˣ)

אינטגרל מסוים

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)

כאשר F היא פונקציה קדומה של f.

דוגמה: ∫₀² x² dx

• F(x) = x³/3
• = F(2) - F(0) = 8/3 - 0 = 8/3

תכונות האינטגרל

• לינאריות: ∫(af + bg) dx = a∫f dx + b∫g dx
• חיבור גבולות: ∫ₐᵇ f dx + ∫ᵇᶜ f dx = ∫ₐᶜ f dx
• החלפת גבולות: ∫ₐᵇ f dx = -∫ᵇₐ f dx
• אותו גבול: ∫ₐₐ f dx = 0

טעויות נפוצות

1. שכחת +C

❌ ∫x² dx = x³/3

✅ ∫x² dx = x³/3 + C

2. טעות בכלל השרשרת

❌ ∫cos(2x) dx = sin(2x) + C

✅ ∫cos(2x) dx = (1/2)sin(2x) + C

3. בלבול סימנים בטריגו

❌ ∫sin x dx = cos x + C

✅ ∫sin x dx = -cos x + C

סיכום נוסחאות חשובות

נגזרת	אינטגרל
(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹	∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
(eˣ)' = eˣ	∫eˣ dx = eˣ + C
(ln x)' = 1/x	∫(1/x) dx = ln|x| + C
(sin x)' = cos x	∫cos x dx = sin x + C
(cos x)' = -sin x	∫sin x dx = -cos x + C