אלגברה בסיסית
זהויות מקוצרות
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a - b)² = a² - 2ab + b²
- a² - b² = (a + b)(a - b)
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
- (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
- a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
- a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
משוואה ריבועית
עבור המשוואה ax² + bx + c = 0:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
- דיסקרימיננטה: Δ = b² - 4ac
- Δ > 0 → שני פתרונות ממשיים שונים
- Δ = 0 → פתרון יחיד (שורש כפול)
- Δ < 0 → אין פתרונות ממשיים (פתרונות מרוכבים)
נוסחאות ויאטה
אם x₁, x₂ שורשי המשוואה ax² + bx + c = 0:
- x₁ + x₂ = -b/a (סכום השורשים)
- x₁ · x₂ = c/a (מכפלת השורשים)
חזקות ולוגריתמים
- aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
- aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ
- (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ
- a⁰ = 1 (כאשר a ≠ 0)
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- √a = a^(1/2)
- ⁿ√a = a^(1/n)
כללי לוגריתמים
- log(ab) = log(a) + log(b)
- log(a/b) = log(a) - log(b)
- log(aⁿ) = n·log(a)
- logₐ(b) = log(b)/log(a) (החלפת בסיס)
- ln(e) = 1, log(10) = 1
גאומטריה
שטח צורות בסיסיות
| צורה | נוסחת שטח | נוסחת היקף |
|---|---|---|
| ריבוע | S = a² | P = 4a |
| מלבן | S = a × b | P = 2(a + b) |
| משולש | S = ½ × b × h | P = a + b + c |
| טרפז | S = ½(a + b) × h | P = a + b + c + d |
| מקבילית | S = b × h | P = 2(a + b) |
| מעוין | S = ½ × d₁ × d₂ | P = 4a |
| עיגול | S = πr² | P = 2πr |
| גזרה | S = (θ/360) × πr² | קשת = (θ/360) × 2πr |
משפט פיתגורס
במשולש ישר-זווית:
a² + b² = c²
כאשר c הוא היתר (הצלע מול הזווית הישרה)
נוסחת הרון (שטח משולש לפי 3 צלעות)
S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
כאשר s = (a+b+c)/2 (חצי היקף)
נפח גופים
| גוף | נוסחת נפח | שטח פנים |
|---|---|---|
| קובייה | V = a³ | S = 6a² |
| תיבה | V = a × b × c | S = 2(ab + bc + ac) |
| גליל | V = πr²h | S = 2πr² + 2πrh |
| חרוט | V = ⅓πr²h | S = πr² + πrl |
| כדור | V = ⁴⁄₃πr³ | S = 4πr² |
| פירמידה | V = ⅓ × S_בסיס × h | — |
אלכסון מלבן/תיבה
- מלבן: d = √(a² + b²)
- תיבה: d = √(a² + b² + c²)
טריגונומטריה
הגדרות בסיסיות (במשולש ישר-זווית)
- sin(α) = ניצב נגדי / יתר
- cos(α) = ניצב סמוך / יתר
- tan(α) = ניצב נגדי / ניצב סמוך = sin(α)/cos(α)
זהויות יסודיות
- sin²(α) + cos²(α) = 1
- tan(α) = sin(α)/cos(α)
- 1 + tan²(α) = 1/cos²(α)
ערכים בזוויות מיוחדות
| זווית | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | ½ | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | ½ | √3 |
| 90° | 1 | 0 | ∞ |
נוסחאות חיבור וחיסור
- sin(α ± β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)
- cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)
נוסחאות זווית כפולה
- sin(2α) = 2sin(α)cos(α)
- cos(2α) = cos²(α) - sin²(α) = 2cos²(α) - 1 = 1 - 2sin²(α)
משפט הסינוסים
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R
כאשר R רדיוס המעגל החוסם
משפט הקוסינוסים
c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
שטח משולש עם זווית
S = ½ · a · b · sin(C)
סדרות
סדרה חשבונית
הפרש קבוע d בין איברים עוקבים
- איבר כללי: aₙ = a₁ + (n-1)d
- סכום n איברים: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n·a₁ + n(n-1)d/2
סדרה הנדסית
מנה קבועה q בין איברים עוקבים
- איבר כללי: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹
- סכום n איברים: Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1) (כאשר q ≠ 1)
- סכום אינסופי (|q| < 1): S∞ = a₁/(1 - q)
חשבון דיפרנציאלי (5 יחידות)
נגזרות בסיסיות
| פונקציה f(x) | נגזרת f'(x) |
|---|---|
| c (קבוע) | 0 |
| x | 1 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln(a) |
| ln(x) | 1/x |
| logₐ(x) | 1/(x·ln(a)) |
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
| tan(x) | 1/cos²(x) |
כללי גזירה
- כפל בקבוע: (c·f)' = c·f'
- סכום: (f + g)' = f' + g'
- מכפלה: (f·g)' = f'·g + f·g'
- מנה: (f/g)' = (f'·g - f·g')/g²
- שרשרת: [f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x)
אינטגרלים בסיסיים
| פונקציה | אינטגרל |
|---|---|
| xⁿ | xⁿ⁺¹/(n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| sin(x) | -cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
| 1/cos²(x) | tan(x) + C |
הסתברות וקומבינטוריקה (4-5 יחידות)
עקרונות בסיסיים
- עקרון הכפל: אם יש m דרכים לבצע פעולה A ו-n דרכים לבצע פעולה B, יש m×n דרכים לבצע את שתיהן
- עקרון החיבור: אם יש m דרכים לבצע A או n דרכים לבצע B (בלעדיות), יש m+n דרכים
תמורות וצירופים
- עצרת (פקטוריאל): n! = n × (n-1) × ... × 2 × 1
- תמורות (סדר חשוב): P(n,k) = n!/(n-k)!
- צירופים (סדר לא חשוב): C(n,k) = n!/[k!(n-k)!]
נוסחאות הסתברות
- הסתברות: P(A) = מספר תוצאות רצויות / מספר תוצאות אפשריות
- חיתוך: P(A∩B) = P(A)·P(B|A)
- איחוד: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
- משלים: P(Aᶜ) = 1 - P(A)
- אירועים בלתי תלויים: P(A∩B) = P(A)·P(B)
התפלגות בינומית
P(X=k) = C(n,k) · pᵏ · (1-p)ⁿ⁻ᵏ
- תוחלת: E(X) = n·p
- שונות: Var(X) = n·p·(1-p)
מספרים מרוכבים (5 יחידות)
הגדרות בסיסיות
- יחידה מדומה: i² = -1
- מספר מרוכב: z = a + bi (a חלק ממשי, b חלק מדומה)
- צמוד: z̄ = a - bi
- מודול: |z| = √(a² + b²)
פעולות
- חיבור: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
- כפל: (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
- חילוק: מכפילים במצומד של המכנה
צורה קוטבית
- z = r(cos(θ) + i·sin(θ))
- r = |z|, θ = arg(z)
נוסחת דה-מואבר
zⁿ = rⁿ(cos(nθ) + i·sin(nθ))