מה זה מחשבון משוואה ריבועית?
מחשבון משוואה ריבועית פותר משוואות מהצורה ax² + bx + c = 0, כאשר a, b ו-c הם מקדמים ו-x הוא הנעלם. המחשבון מוצא את שורשי המשוואה (ערכי x שמקיימים את המשוואה) באמצעות נוסחת השורשים.
משוואה ריבועית יכולה להיות לה שני פתרונות ממשיים, פתרון יחיד (שורש כפול), או שני פתרונות מרוכבים. סוג הפתרון נקבע לפי הדיסקרימיננטה: אם Δ > 0 יש 2 פתרונות, אם Δ = 0 פתרון אחד, אם Δ < 0 אין פתרון ממשי.
נוסחת השורשים התגלתה על ידי מתמטיקאים בבבל לפני כ-4,000 שנה, ופותחה לצורתה המודרנית במאות ה-16-17. היא אחת הנוסחאות החשובות ביותר במתמטיקה.
איך פותרים משוואה ריבועית?
הפתרון מתבצע בשני שלבים: ראשית מחשבים את הדיסקרימיננטה Δ = b² - 4ac, ואז מציבים בנוסחת השורשים. הדיסקרימיננטה קובעת את סוג הפתרונות.
נוסחה: x = (-b ± √Δ) / 2a, כאשר Δ = b² - 4ac
דוגמה: דוגמה 1: x² - 5x + 6 = 0 → Δ = 25-24 = 1 → x₁ = 3, x₂ = 2. דוגמה 2: x² - 4x + 4 = 0 → Δ = 0 → x = 2 (שורש כפול). דוגמה 3: 2x² + 3x - 5 = 0 → Δ = 49 → x₁ = 1, x₂ = -2.5. דוגמה 4: x² + 1 = 0 → Δ = -4 → אין פתרון ממשי.
מקור: אלגברה תיכונית — פתרון משוואות ריבועיות
מתי פותרים משוואה ריבועית?
- פיזיקה — תנועת קליע: גובה כדור שנזרק h(t) = -5t² + 20t, מתי יפגע בקרקע?
- גאומטריה — שטחים: מלבן עם שטח 24 מ"ר והיקף 20 מ — מה האורך והרוחב?
- כלכלה — רווח מקסימלי: פונקציית רווח P(x) = -2x² + 40x - 150, כמה יחידות למכור?
- הנדסה — מעגלים: חישוב זרם במעגל עם קבל ומשרן
- ביולוגיה — גידול אוכלוסיות: נקודות שיווי משקל של מודלים אקולוגיים
- מימון — החזר הלוואה: חישוב שיעור ריבית פנימי (IRR)
שאלות נפוצות
מה זה דיסקרימיננטה ומה היא אומרת לנו?
הדיסקרימיננטה (Δ = b² - 4ac) קובעת את סוג הפתרונות: אם Δ > 0 יש שני פתרונות ממשיים, אם Δ = 0 יש פתרון יחיד (שורש כפול), ואם Δ < 0 אין פתרונות ממשיים (יש פתרונות מרוכבים).
למה המקדם a לא יכול להיות 0?
אם a = 0, המשוואה הופכת ל-bx + c = 0, שזו משוואה לינארית (מעלה ראשונה) ולא ריבועית. משוואה ריבועית חייבת לכלול את האיבר x².
מה זה פתרונות מרוכבים?
כאשר הדיסקרימיננטה שלילית, צריך להוציא שורש ממספר שלילי. זה מוביל לשימוש במספרים מרוכבים, שכוללים את היחידה המדומה i (כאשר i² = -1). הפתרונות יהיו מהצורה a ± bi.
איך מוצאים את קודקוד הפרבולה?
קודקוד הפרבולה נמצא ב-x = -b/(2a). ערך ה-y בקודקוד: y = f(-b/2a) או y = c - b²/(4a). הקודקוד הוא נקודת מינימום (אם a>0) או מקסימום (אם a<0).
מה הקשר בין השורשים למקדמים (נוסחאות וייטה)?
אם x₁ ו-x₂ הם השורשים, אז x₁+x₂ = -b/a (סכום) ו-x₁·x₂ = c/a (מכפלה). זה מאפשר לבדוק תשובות בלי לפתור את המשוואה.
אלגברה תיכונית — משוואות ריבועיות