מה זה מחשבון פקטוריאל?
מחשבון פקטוריאל מחשב עצרת (פקטוריאל), תמורות וצירופים. פקטוריאל של n (מסומן n!) הוא מכפלת כל המספרים השלמים מ-1 עד n. לדוגמה: 5! = 120.
פקטוריאל גדל במהירות עצומה: 10! = 3,628,800, ו-20! כבר מגיע ל-2.4 קווינטיליון. זו הסיבה שמספר הסידורים האפשריים של חפיסת קלפים (52!) הוא מספר אסטרונומי.
פקטוריאל משמש בקומבינטוריקה לספירת אפשרויות: כמה דרכים לסדר פריטים (תמורות), כמה תת-קבוצות אפשריות (צירופים), וחישובי הסתברות.
איך מחשבים פקטוריאל?
n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1. לפי הגדרה, 0! = 1. תמורות (סדר חשוב): P(n,r) = n!/(n-r)!. צירופים (סדר לא חשוב): C(n,r) = n!/(r!(n-r)!).
נוסחה: n! = 1×2×3×...×n | P(n,r) = n!/(n-r)! | C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)
דוגמה: דוגמה 1: 5! = 120. דוגמה 2: P(5,2) = 5!/3! = 20 דרכים לבחור 2 מ-5 כשהסדר חשוב. דוגמה 3: C(5,2) = 10 דרכים לבחור 2 מ-5 כשהסדר לא חשוב. דוגמה 4: C(6,3) = 20 = מספר משולשים מ-6 נקודות.
מקור: קומבינטוריקה — עקרונות ספירה
טבלת ערכי פקטוריאל (n!)
| n | n! | הסבר |
|---|---|---|
| 0 | 1 | לפי הגדרה |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2×1 |
| 3 | 6 | 3×2×1 |
| 4 | 24 | 4×3×2×1 |
| 5 | 120 | 5×4×3×2×1 |
| 6 | 720 | 6! |
| 7 | 5,040 | 7! |
| 8 | 40,320 | 8! |
| 9 | 362,880 | 9! |
| 10 | 3,628,800 | 10! |
| 12 | 479,001,600 | 12! |
מתי משתמשים בפקטוריאל?
- לוטו: C(37,6) = 2,324,784 צירופים אפשריים בלוטו ישראלי. סיכוי לזכות: 1 ל-2.3 מיליון
- סידור אנשים: 5! = 120 דרכים לסדר 5 אנשים בשורה
- קבוצות ספורט: C(20,11) = 167,960 דרכים לבחור 11 שחקנים מ-20
- בינום ניוטון: (a+b)ⁿ = Σ C(n,k)·aᵏ·bⁿ⁻ᵏ — המקדמים הם צירופים
- קריפטוגרפיה: 26! = 4×10²⁶ סידורים לאלפבית — מפתח לצופן החלפה
- גנטיקה: מספר שילובי גנים אפשריים בהפריה
- משחקי קלפים: C(52,5) = 2,598,960 ידיים אפשריות בפוקר
שאלות נפוצות
למה 0! שווה 1 ולא 0?
זו הגדרה מתמטית שמתאימה לנוסחאות: C(n,n)=1 דורש ש-n!/n!=1, ו-n!/(n-0)!=n! דורש ש-0!=1. גם הגיונית: יש דרך אחת לסדר 0 פריטים (לא לעשות כלום).
מה ההבדל בין תמורות לצירופים?
תמורות (P) סופרות סידורים שונים — הסדר חשוב (ABC≠BAC). צירופים (C) סופרים בחירות — הסדר לא חשוב ({A,B,C}={B,A,C}).
איך מחשבים פקטוריאל של מספרים גדולים?
פקטוריאל גדל מאוד מהר. 20! כבר שווה ל-2.4 קוואדריליון. להסתברות משתמשים ביחס בין פקטוריאלים (צמצום לפני חישוב).
מה זה צירוף עם חזרות?
כשמותר לבחור אותו פריט יותר מפעם אחת. הנוסחה: C(n+r-1, r) = (n+r-1)! / (r!(n-1)!). למשל: כמה דרכים לבחור 3 כדורים מ-4 צבעים עם חזרות.
איך מחשבים הסתברות בהגרלה?
הסתברות = מקרים נוחים / כל המקרים. בלוטו 6/45: C(6,6)/C(45,6) = 1/8,145,060. כלומר סיכוי של 1 ל-8 מיליון.
קומבינטוריקה — פקטוריאל ועקרונות ספירה